Enumeration of symmetry classes of convex polyominoes on the honeycomb lattice
Theoretical Computer Science - In memoriam: Alberto Del Lungo (1965-2003)
Area limit laws for symmetry classes of staircase polygons
Combinatorics, Probability and Computing
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This paper concerns the enumeration of rotation-type and congruence-type convex polyominoes on the square lattice. These can be defined as orbits of the groups C"4, of rotations, and D"4, of symmetries, of the square, acting on (translation-type) polyominoes. By virtue of Burnside's lemma, it is sufficient to enumerate the various symmetry classes (fixed points) of polyominoes defined by the elements of C"4and D"4. Using the Temperley-Bousquet-Melou methodology, we solve this problem and provide explicit or recursive formulas for their generating functions according to width, height, and area. We also enumerate the class of asymmetric convex polyominoes, using Mobius inversion, and prove that their number is asymptotically equivalent to the number of convex polyominoes, a fact which is empirically evident. Cet article porte sur l'enumeration de polyominos a rotations et reflexions pres dans un reseau carre. Ces polyominos peuvent etre consideres comme des orbites de l'action du groupe diedral D"4du carre et de son sous-groupe C"4, le groupe des rotations du carre, sur l'ensemble des polyominos convexes (a translations pres). Le lemme de Burnside reduit alors le probleme a l'enumeration des ensembles de points fixes (classes de symetrie) de l'action. Utilisant la methodologie de Temperley-Bousquet-Melou, nous donnons des formules explicites ou recursives pour les series generatrices de ces types de polyominos selon la largueur, la hauteur et l'aire. Nous enumerons aussi, a l'aide de l'inversion de Mobius, la classe des polyominos convexes asymetriques et prouvons que ce nombre est asymptotique a celui des polyominos convexes, un fait mis en evidence experimentalement.